Menyelesaikan Permasalahan Tentang FPB Menggunakan Faktorisasi Prima

Kita akan belajar tentang Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Misal kita mempunyai 15 manik-manik berwarna biru, 35 manik-manik berwarna putih, dan 50 manik-manik berwarna ungu. Manik-manik itu akan digunakan untuk membuat hiasan taplak meja dimana kita harus membuat hiasan yang sama banyaknya. Setiap hiasan harus terdiri dari manik-manik dengan banyak dan jenis yang sama. Pertanyaannya adalah berapa banyak hiasan yang akan kita buat? Ilustrasi tersebut adalah contoh permasalahan tentang FPB. FPB adalah faktor persekutuan terbesar, yaitu bilangan asli terbesar yang merupakan anggota faktor persekutuan bilangan-bilangan tersebut. Jadi untuk mengetahui banyak hiasan yang dapat dibuat, diperoleh dengan mencari FPB dari bilangan 15, 35, dan 40. Dan FPB dapat dicari dengan cara (1) memfaktorkan bilangan atau dengan (2) menggunakan faktorisasi prima yaitu dengan bantuan pohon faktor. Untuk cara yang kedua yaitu menggunakan faktorisasi prima dengan bantuan pohon faktor, tentukan perkalian faktor prima yang sama dari kedua bilangan itu. Jika faktor yang sama tersebut pangkatnya berbeda, tentukan faktor yang pangkatnya terkecil (misalnya, 2² dan 2³, diambil 2²) dan kalikan.

Ilustrasi kedua: Bu Citra ingin membuat parsel buah dari 24 buah mangga, 40 buah apel, dan 72 buah jeruk. Bu Citra ingin membuat parsel sebanyak-banyaknya dengan jumlah dan jenis buah yang sama di setiap keranjang. Dapatkah kamu membantu menghitung banyak keranjang yang dibutuhkan?

Dan kita akan menyelesaikan permasalahan FPB dengan faktorisasi prima.
Perhatikan cara penyelesainnya untuk ilustrasi pertama berikut.

Diperoleh faktorisasi prima dari ketiga bilangan itu adalah.
15 = 3 × 5
35 = 5 × 7
50 = 2 × 5 × 5
FPB dari 15, 35, dan 50 yaitu 5.
Hiasan yang dapat dibuat sebanyak 5 buah.

Jawaban ilustrasi kedua;

Diperoleh faktorisasi prima dari bilangan 24, 40, dan 72 adalah.
24 = 2³ × 3
40 = 2³ × 5
72 = 2³ × 3²
FPB dari 24, 40, dan 72 yaitu 2³ x 3 = 48
Hiasan yang dapat dibuat sebanyak 5 buah.

Contoh 1;
Misalnya mencari FPB dari 72, 180, dan 216.

72 = 2³ × 3²
180 = 2² × 3² × 5
216 = 2³ × 3³
FPB dari 72, 180, dan 216 yaitu 2²  × 3²  = 36.

Contoh 2:
Carilah FPB dari 75, 90, dan 105.

75 = 3 × 5²
90 = 3² × 2 ×  5
105 = 3 × 5 × 7
FPB dari 75, 90, dan 105 = 3 × 5 = 15

Latihan Soal!
Carilah FPB dari bilangan-bilangan berikut menggunakan faktorisasi prima.
1. 15 dan 75

15 = 3 x 5
75 = 3 x 5²
FPB dari 15 dan 75 = 3 x 5 = 15

2. 18 dan 38

18 = 2 x 3²
38 = 2 x 19
FPB dari 18 dan 36 = 2

3. Bu Citra akan membuat parsel keramik dengan bahan 36 teko keramik, 90 gelas keramik, dan 126 piring makan keramik. Setiap parsel berisi bahan-bahan tersebut dengan jenis dan banyak yang sama. Dapatkah kamu membantu menghitung banyak keranjang yang harus disiapkan?
Jawab:

36 = 2² x 3²
90 = 2 x 3² x 5
126 = 2 x 3² x 7
FPB dari 36, 90, dan 126 = 2 x 3² = 18

4. Carilah FPB dari bilangan 24 dan 36

36 = 2² x 3²
24 = 2³ x 3
FPB = 2² x 3 = 12

5. Bu Citra mendapat pesanan parsel untuk anak sekolah. Bu Citra membeli 75 bolpoin seharga Rp60.000,00, 45 buku gambar seharga Rp72.000,00, dan 150 buku tulis seharga Rp225.000,00. Ketiga jenis barang tersebut akan dimasukkan ke dalam parsel. Setiap parsel berisi jenis dan jumlah sama. Parsel tersebut dijual dengan harga Rp28.000,00 per parsel.
a. Berapa banyak parsel yang dapat dibuat Bu Citra?
b. Berapa rupiah keuntungan yang diperoleh Bu Citra?

a. Banyak parsel yang dapat dibuat Bu Citra

75 = 3 x 5²
45 = 3² x 5
150 = 3 x 2 x 5²
FPB = 15
Jadi Banyak parsel yang dapat dibuat Bu Citra adalah 15

b. Berapa rupiah keuntungan yang diperoleh Bu Citra?
Modal awal; Rp60.000,00, + Rp72.000,00, + Rp225.000,00.  = Rp357.000,00.
Bu Citra menjual parcel dengan harga Rp28.000,00 x 15 = Rp420.000,00
Jadi keuntungan yang diperoleh = Rp420.000,00 - Rp357.000,00.  = Rp63.000,00.