Jumat, 18 Februari 2011
Pada posting kali ini, saya akan melakukan operasi hitung bilangan bulat termasuk penggunaan sifat-sifatnya, pembulatan, dan penaksiran.
1. Bilangan Bulat
Perhatikan garis bilangan di bawah ini!
Bilangan bulat meliputi bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan 0 (nol). Beberapa hal yang perlu kita perhatikan tentang bilangan bulat adalah:
a. Bilangan bulat negatif ialah bilangan bulat yang terletak di sebelah kiri angka 0 (nol).
- Bilangan bulat negatif: -1, -2,-3, -4, -5, ...
b. Bilangan bulat positif ialah bilangan bulat yang terletak di sebelah kanan angka 0 (nol).
- Bilangan bulat positif: 1, 2, 3, 4, 5, ...
c. Angka 0 (nol) termasuk bilangan bulat. Bilangan 0 (nol) tidak positif dan tidak negatif. Bilangan 0 (nol) adalah bilangan netral.
d. Pada garis bilangan, letak bilangan makin ke kanan makin besar dan makin ke kiri makin kecil.
e. Bilangan bulat meliputi:
Bilangan bulat genap: ... , -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
Bilangan bulat ganjil: ... , -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...
Bilangan bulat kadang-kadang dinyatakan dengan anak panah. Perhatikan gambar berikut ini!
Anak panah tersebut menunjukkan bilangan-bilangan:
a = 3 d = -5
b = -4 e = 4
c = 6 f = -4
Anak panah ke kiri menunjukkan bilangan negatif. Anak panah ke kanan menunjukkan bilangan positif. Adapun panjang anak panah menunjukkan nilai bilangan.
2. Operasi Hitung Bilangan Bulat
Operasi hitung bilangan bulat meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita telah mempelajari penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Kedua jenis operasi hitung itu akan kita pelajari lebih lanjut. Kita juga akan mempelajari perkalian dan pembagian bilangan bulat.
a. Operasi Penjumlahan
b. Operasi Pengurangan
Pengurangan adalah lawan pengerjaan penjumlahan.
Perhatikan!
Mengurangi suatu bilangan sama dengan menjumlah bilangan itu dengan lawan bilangan pengurangnya.
12 – 7 = 12 + (-7) -8 – 5 = -8 + (-5) -10 – (-4) = -10 + 4
c. Operasi Perkalian
Jawab perkalian di bawah ini di luar kepala.
Contoh:
1. 2 x 3 = 6
1 x 3 = 3
0 x 3 = 0
-1 x 3 = -3
-2 x 3 = -6
Perkalian terdiri atas dua faktor. Faktor pertama pada setiap perkalian berkurang 1 dari faktor sebelumnya.
Faktor kedua tetap.
-1 x 3 = 3 x (-1) (sifat pertukaran pada perkalian)
3 x (-1) = -3
3 x (-2) = -6
3 x (-3) = -9
3 x (-4) = -12
Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya adalah bilangan bulat negatif.
-4 x 2 = -8
-4 x 1 = -4
-4 x 0 = 0
-4 x (-1) = 4
-4 x (-2) = 8
Faktor pertama pada perkalian itu tetap. Faktor kedua pada setiap perkalian berkurang 1 dari faktor sebelumnya.
(-4) x (-2) = (-2) x (-4) (sifat pertukaran pada perkalian).
Kesimpulan!
d. Operasi Pembagian
Pembagian adalah kebalikan pengerjaan perkalian.
Contoh
1. 10 : 5 = n 3. 10 : (-5) =n
10 =5 x n 10 =-5 x n
n =2 n =-2
2. -10 : 5 =n 4. -10 : (-5) =n
-10 =5 x n -10 =-5 x n
n =-2 n = 2
Kesimpulan!
1. Bilangan bulat positif : bilangan bulat positif = bilangan bulat positif.
2. Bilangan bulat positif : bilangan bulat negatif = bilangan bulat negatif.
3. Bilangan bulat negatif : bilangan bulat positif = bilangan bulat negatif.
4. Bilangan bulat negatif : bilangan bulat negatif = bilangan bulat positif.
+ : + = + – : + = –
+ : – = – – : – = +
3. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
Pada awal pelajaran matematika kelas 4, kamu telah mempelajari sifat-sifat operasi hitung bilangan cacah. Apakah sifat-sifat operasi hitung itu berlaku juga untuk operasi hitung bilangan bulat?
Marilah kita pelajari lebih lanjut!
a. Penjumlahan Bilangan Bulat
1. -4 + 17 = 13 -8+(-7) = -15
17+(-4) = 13 -7+(-8) = -15
-4+17 = 17+(-4) -8+(-7) = -7 +(-8)
Pertukaran suku pada penjumlahan bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pertukaran suku disebut juga sifat komutatif penjumlahan.
2. 5+12+(-5)= (5+12) + (-5)
= 17 +(-5)
= 12
5+12+(-5)= 5+(12 + (-5))
= 5+7
= 12
(5+12) + (-5) = 5+(12 + (-5))
Pengelompokan suku pada penjumlahan bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pengelompokan suku disebut juga sifat asosiatif penjumlahan.
3. 125 + 0 = 125 0+(-12) = -12
Penjumlahan bilangan bulat dengan 0, hasilnya bilangan itu sendiri. Sifat ini disebut, bilangan sifat nol pada jumlahan. Bilangan 0 adalah identitas penjumlahan.
4. Setiap bilangan bulat mempunyai lawan bilangan, yang juga berupa bilangan bulat. Perhatikan garis bilangan di bawah ini!
Lawan bilangan 3 adalah -3
Lawan bilangan -5 adalah 5
Bagaimana jarak bilangan bulat dengan lawannya dari titik 0 (nol)?
3 + (-3) = 0 -5 + 5 = 0
Jumlah setiap dua bilangan bulat yang berlawanan adalah 0 (nol).
Kesimpulan:
1. 5 + (-7) = -7 + 5 a + b = b + a
2. (-9 + 12) + (4) = -9 + (12 + 4) (a + b) + c = a + (b+ c)
3. 64 + 0 = 64; 0 + (-8) = -8 a+0 = a; 0 + a = a
4. 7 + (-7) = 0; -12 + 12 = 0 a + (-a) = 0; -a + a = 0
b. Perkalian Bilangan Bulat
1. 9 x 5 = 45 -12 x 5 = -60
5 x 9 = 45 5 x (-12) = -60
9 x 5 = 5 x 9 -12 x 5 = 5 x (-12)
Pertukaran faktor pada perkalian bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pertukaran faktor disebut juga sifat komutatif perkalian.
2. 25 x 4 x 8 = (25 x 4) x 8 -15 x 6 x (-3) = (-15 x 6) x (-3)
= 100 x 8 = -90 x (-3)
= 800 = 270
25 x 4 x 8 = 25 x (4 x 8) -15 x 6 x (-3) = -15 x (6 x -3)
= 25 x 32 = -15 x (-18)
= 800 = 270
(25 x 4) x 8 = 25 x ( 4 x 8) (-15 x 6) x (-3) = -15 x (6 x (-3))
Pengelompokan faktor pada perkalian bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pengelompokan faktor disebut juga sifat asosiatif perkalian.
3. 12 x (5 + 3) = (12 x 5) + (12 x 3)
= 60 + 36
= 96
-25 x 11 = (-25 x 8) + (-25 x 3)
= -200 + (-75)
= -275
Sifat penyebaran perkalian terhadap penjumlahan tidak mengubah hasil. Sifat penyebaran disebut juga sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
4. -24 x 1 = -24
1 x (-148) = - 148
Perkalian bilangan bulat dengan 1 (satu) hasilnya bilangan itu sendiri. Sifat ini disebut juga, sifat bilangan 1 pada perkalian. Bilangan 1 adalah identitas perkalian.
5. -64 x 0 = 0
0 x (-235) = 0
Perkalian bilangan bulat dengan 0 (nol) hasilnya 0 (nol).
Kesimpulan:
1. -8 x 6 = 6 x (-8) a x b = b x a
2. (-10 x 5) x (-3) = -10 x ( 5 x -3) (a xb) x c = a x (b x c)
3. -12 x (9+7) = (-12 x 9) + (-12 x7) a x (b+c) =(a x b) + (a x c)
4. -52 x 1 = -52 a x 1 = a
5. -48 x 0 = 0 a x 0 = 0
2. Operasi Hitung Bilangan Bulat
Operasi hitung bilangan bulat meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita telah mempelajari penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Kedua jenis operasi hitung itu akan kita pelajari lebih lanjut. Kita juga akan mempelajari perkalian dan pembagian bilangan bulat.
a. Operasi Penjumlahan
b. Operasi Pengurangan
Pengurangan adalah lawan pengerjaan penjumlahan.
Mengurangi suatu bilangan sama dengan menjumlah bilangan itu dengan lawan bilangan pengurangnya.
12 – 7 = 12 + (-7) -8 – 5 = -8 + (-5) -10 – (-4) = -10 + 4
c. Operasi Perkalian
Jawab perkalian di bawah ini di luar kepala.
Contoh:
1. 2 x 3 = 6
1 x 3 = 3
0 x 3 = 0
-1 x 3 = -3
-2 x 3 = -6
Perkalian terdiri atas dua faktor. Faktor pertama pada setiap perkalian berkurang 1 dari faktor sebelumnya.
Faktor kedua tetap.
-1 x 3 = 3 x (-1) (sifat pertukaran pada perkalian)
3 x (-1) = -3
3 x (-2) = -6
3 x (-3) = -9
3 x (-4) = -12
Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya adalah bilangan bulat negatif.
-4 x 2 = -8
-4 x 1 = -4
-4 x 0 = 0
-4 x (-1) = 4
-4 x (-2) = 8
Faktor pertama pada perkalian itu tetap. Faktor kedua pada setiap perkalian berkurang 1 dari faktor sebelumnya.
(-4) x (-2) = (-2) x (-4) (sifat pertukaran pada perkalian).
Kesimpulan!
d. Operasi Pembagian
Pembagian adalah kebalikan pengerjaan perkalian.
Contoh
1. 10 : 5 = n 3. 10 : (-5) =n
10 =5 x n 10 =-5 x n
n =2 n =-2
2. -10 : 5 =n 4. -10 : (-5) =n
-10 =5 x n -10 =-5 x n
n =-2 n = 2
Kesimpulan!
1. Bilangan bulat positif : bilangan bulat positif = bilangan bulat positif.
2. Bilangan bulat positif : bilangan bulat negatif = bilangan bulat negatif.
3. Bilangan bulat negatif : bilangan bulat positif = bilangan bulat negatif.
4. Bilangan bulat negatif : bilangan bulat negatif = bilangan bulat positif.
+ : + = + – : + = –
+ : – = – – : – = +
3. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
Pada awal pelajaran matematika kelas 4, kamu telah mempelajari sifat-sifat operasi hitung bilangan cacah. Apakah sifat-sifat operasi hitung itu berlaku juga untuk operasi hitung bilangan bulat?
Marilah kita pelajari lebih lanjut!
a. Penjumlahan Bilangan Bulat
1. -4 + 17 = 13 -8+(-7) = -15
17+(-4) = 13 -7+(-8) = -15
-4+17 = 17+(-4) -8+(-7) = -7 +(-8)
Pertukaran suku pada penjumlahan bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pertukaran suku disebut juga sifat komutatif penjumlahan.
2. 5+12+(-5)= (5+12) + (-5)
= 17 +(-5)
= 12
5+12+(-5)= 5+(12 + (-5))
= 5+7
= 12
(5+12) + (-5) = 5+(12 + (-5))
Pengelompokan suku pada penjumlahan bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pengelompokan suku disebut juga sifat asosiatif penjumlahan.
3. 125 + 0 = 125 0+(-12) = -12
Penjumlahan bilangan bulat dengan 0, hasilnya bilangan itu sendiri. Sifat ini disebut, bilangan sifat nol pada jumlahan. Bilangan 0 adalah identitas penjumlahan.
4. Setiap bilangan bulat mempunyai lawan bilangan, yang juga berupa bilangan bulat. Perhatikan garis bilangan di bawah ini!
Lawan bilangan 3 adalah -3
Lawan bilangan -5 adalah 5
Bagaimana jarak bilangan bulat dengan lawannya dari titik 0 (nol)?
3 + (-3) = 0 -5 + 5 = 0
Jumlah setiap dua bilangan bulat yang berlawanan adalah 0 (nol).
Kesimpulan:
1. 5 + (-7) = -7 + 5 a + b = b + a
2. (-9 + 12) + (4) = -9 + (12 + 4) (a + b) + c = a + (b+ c)
3. 64 + 0 = 64; 0 + (-8) = -8 a+0 = a; 0 + a = a
4. 7 + (-7) = 0; -12 + 12 = 0 a + (-a) = 0; -a + a = 0
b. Perkalian Bilangan Bulat
1. 9 x 5 = 45 -12 x 5 = -60
5 x 9 = 45 5 x (-12) = -60
9 x 5 = 5 x 9 -12 x 5 = 5 x (-12)
Pertukaran faktor pada perkalian bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pertukaran faktor disebut juga sifat komutatif perkalian.
2. 25 x 4 x 8 = (25 x 4) x 8 -15 x 6 x (-3) = (-15 x 6) x (-3)
= 100 x 8 = -90 x (-3)
= 800 = 270
25 x 4 x 8 = 25 x (4 x 8) -15 x 6 x (-3) = -15 x (6 x -3)
= 25 x 32 = -15 x (-18)
= 800 = 270
(25 x 4) x 8 = 25 x ( 4 x 8) (-15 x 6) x (-3) = -15 x (6 x (-3))
Pengelompokan faktor pada perkalian bilangan bulat tidak mengubah hasil. Pengelompokan faktor disebut juga sifat asosiatif perkalian.
3. 12 x (5 + 3) = (12 x 5) + (12 x 3)
= 60 + 36
= 96
-25 x 11 = (-25 x 8) + (-25 x 3)
= -200 + (-75)
= -275
Sifat penyebaran perkalian terhadap penjumlahan tidak mengubah hasil. Sifat penyebaran disebut juga sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
4. -24 x 1 = -24
1 x (-148) = - 148
Perkalian bilangan bulat dengan 1 (satu) hasilnya bilangan itu sendiri. Sifat ini disebut juga, sifat bilangan 1 pada perkalian. Bilangan 1 adalah identitas perkalian.
5. -64 x 0 = 0
0 x (-235) = 0
Perkalian bilangan bulat dengan 0 (nol) hasilnya 0 (nol).
Kesimpulan:
1. -8 x 6 = 6 x (-8) a x b = b x a
2. (-10 x 5) x (-3) = -10 x ( 5 x -3) (a xb) x c = a x (b x c)
3. -12 x (9+7) = (-12 x 9) + (-12 x7) a x (b+c) =(a x b) + (a x c)
4. -52 x 1 = -52 a x 1 = a
5. -48 x 0 = 0 a x 0 = 0